Výpočet staticky neurčité tyče pro kroucení. Torze staticky neurčité tyče. Volné kroucení tenkostěnných tyčí

Návrhové schéma a schémata

Řešení

Označme podélnou osu z, body A a B, čísla řezů 1, 2, 3. Konce tyče jsou sevřené, takže vznikají reaktivní momenty M A a M B, které je potřeba vypočítat. Počet neznámých podporových reakcí je dva a statická rovnice pro tento systém sil je jedinečná:

MA – M 1 + M 2 – M B = 0. (1)

Proto je tento systém jednou staticky neurčitý. Kromě rovnice (1) je nutné vytvořit další rovnici obsahující stejné neznámé M A a M B . Za tímto účelem budeme postupovat následovně. Zahoďme správné sevření, ale jeho vliv nahraďme momentem M B , velikostí a směrem zatím neznámým. Získáme tak návrhové schéma 2), ekvivalentní původnímu schématu 1). Nyní jsou na tyč aplikována tři zatížení: M 1, M 2, M B ve formě momentů, včetně požadovaného - M B. Protože je pravý konec tyče upnut, měl by být úhel natočení tohoto úseku kolem podélné osy tyče roven nule, tzn. . Takové otočení v bodě B je výsledkem působení tří silových činitelů: M 1, M 2, M B.

Podle principu nezávislosti sil lze z každého momentu nejprve vypočítat úhel natočení řezu B a výsledky pak sečíst. Tím získáme druhou rovnici doplňující (1):

Při sestavování této rovnice bylo bráno v úvahu, že v okamžiku M 1 zkroutí pouze první úsek tyče, v okamžiku M 2 zkroutí úseky 1 a 2 a v okamžiku M B zkroutí všechny tři úseky. Zmenšíme levou stranu rovnice (2). a G a dostaneme

Rovnice (1) a (3) tvoří systém pro určení M A a MB . Chcete-li to vyřešit, musíte nejprve určit momenty setrvačnosti J, J, J.

První částí tyče je dutý válec. Pro svůj oddíl

Druhá část tyče má obdélníkový průřez. Jeho torzní moment setrvačnosti

J (5)

Zde je tabulkový koeficient v závislosti na poměru stran obdélníku. Pro daný poměr h/b = 2,0 je hodnota převzato ze stolu.

Vzorec (5) dává výsledek

J . (6)

Průřez tyče druhé sekce je plný kulatý. Proto

(7)

Hodnoty točivých momentů a zjištěné hodnoty momentů setrvačnosti sekcí se dosadí do (3)

Zmenšíme b 4 ve všech termínech, provedeme jednoduché aritmetické výpočty a dostaneme

Po transformacích má rovnice tvar

14,89 MB = 17,78.

Odtud máme

MB = 1,194 kNm

Z rovnice (1) zjistíme reaktivní moment při sevření levého konce:

MA = M 1 – M 2 + M B = 6 – 7 + 1,194 = 0,194 kNm.

Nyní můžete začít vytvářet diagram točivého momentu. Na libovolném místě každé části tyče nakreslíme části 1–1, 2–2, 3–3.

Vezměme levou odříznutou část a ukažme točivý moment v sekci M. I když jeho směr lze volit libovolně, je lepší zvolit směr pozitivní, tzn. tak, že při pohledu na konec odříznuté části je viditelný proti směru hodinových ručiček.

Celá tyč je v rovnováze. To znamená, že každá odříznutá část musí být v rovnováze. Můžeme tedy napsat rovnici rovnováhy:

Odtud máme

Část 2–2

Část 3–3

kNm.

Na základě výsledků výpočtů sestrojíme diagram točivých momentů. Rozměry průřezu tyče je nutné zjistit z pevnostního stavu

(8)

Zde je číslo webu. Levá strana nerovnosti je největší absolutní hodnotou smykového napětí pro celou tyč. Pravá strana je přípustné napětí pro materiál na základě tangenciálních napětí. Pojďme je nainstalovat. Pro každý řez zjistíme maximální smykové napětí pomocí obecného vzorce

Kroutící momenty již byly nalezeny. Určíme momenty odporu při kroucení:

Druhý vzorec je tabulkový koeficient v závislosti na poměru stran obdélníku. Pro daný poměr h/b = 2,0 je hodnota převzato ze stolu.

Pro každý řez určíme lokální maxima tečných napětí:

(9)

(10)

(11)

Z porovnání výsledků vidíme, že úseky druhého úseku jsou nebezpečné.

Dovolené smykové napětí

.

Jak bylo uvedeno dříve, Nosníky a systémy se nazývají staticky neurčité, přičemž vnitřní síly nebo reakce podpor nelze určit pouze pomocí rovnic rovnováhy. Proto je při jejich výpočtu nutné vytvořit další rovnice - rovnice kompatibility deformací nebo posunů. Počet dalších rovnic potřebných k výpočtu systému charakterizuje stupeň jeho statické neurčitosti.

Důležitou fází při výpočtu staticky neurčitých systémů je sestavení dalších (k rovnovážným rovnicím) rovnic posunutí. Způsob jejich sestavení si vysvětlíme na následujícím příkladu.

Uvažujme tyč upnutou na obou koncích a zatíženou momentem M X působícím v rovině kolmé k podélné ose tyče (obr. 6.7).

V tomto případě se mohou v uloženích vyskytovat pouze podporové momenty M A a M B vzhledem k podélné ose, které je třeba určit. Směry neznámých reakcí podpory jsou znázorněny libovolně.

Statická stránka problému k určení těchto neznámých dává pouze jednu rovnici rovnováhy:

(6.20)

Získali jsme jednu rovnici se dvěma neznámými, což znamená, že stupeň statické neurčitosti této úlohy je roven jedné. Chcete-li vytvořit další rovnici, zvažte geometrickou stránku problému, tzn. vytvoříme podmínku pro kompatibilitu deformací: plný úhel zkroucení řezu pravého konce nosníku(část B) ve vztahu k levému upnutému konci je roven nule, tzn.

Plný úhel otočení
rovná se součtu úhlů zkroucení dvou částí:

(6.21)

Fyzická stránka problému. Úhly zkroucení jednotlivých sekcí A určíme podle vzorce (6.11):

(6.22)

V těchto vzorcích zapíšeme výrazy pro M t 1 a M t 2 pomocí metody řezů s ohledem na pravý řezaný díl:

Mt1 = MB – M X; Mt2 = MB. (6,23)

Dosazením výrazů (6.22) s přihlédnutím k (6.23) do rovnice (6.21) získáme:

Proto, at
my máme:

Když
A
dostaneme

(6.24)

PŘÍKLAD 6.3

Paprsek znázorněný na Obr. 6.8a, sevřený na obou koncích:

Požadované:

– určit reakce podpěr a sestrojit diagramy krouticích momentů;

– vyberte průměr plného kruhového nosníku;

– sestrojte diagram úhlů zkroucení řezů.

A. Zveřejnění statické neurčitosti

a vykreslování diagramů točivého momentu

1. Statická stránka problému.

Zde M A a M B jsou podpěrné reakce v uloženích působící v rovinách kolmých k ose tyče. Jejich směr je zvolen libovolně.

Dostali jsme jednu rovnici obsahující dvě neznámé, tzn. uvažovaný problém je jednou staticky neurčitý.

2. Geometrická stránka problému.

Pro získání dodatečné rovnice uvažujte podmínku kompatibility deformací jednotlivých řezů.

Určíme plný úhel natočení pravé koncové části nosníku vzhledem k levé části. Je definován jako součet úhlů zkroucení tří sekcí a je roven nule.

3. Fyzická stránka problému.

Pro určení  i používáme Hookeův zákon pro kroucení:

Na rozdíl od dříve diskutovaných kruhových tyčí má torze tyčí nekruhového příčného tvaru své vlastní zvláštnosti. Hlavní je deplanace. To je jev, že úseky přestávají být ploché a deplanují. Vzorce založené na hypotéze rovinných řezů ztrácejí platnost. Vznikají normální stresy.

Dochází k volnému a omezenému kroucení. Volný, uvolnit Toto se nazývá torze, ve které je deplanace konstantní po celé délce tyče a může být charakterizována velikostí posunutí v axiálním směru. Nazývá se torze tyče, při které se mění deplanace úseku po délce tyče vázané kroucení. V tomto případě vzniká zvláštní typ vnitřní síly - bimoment, který ovlivňuje rozložení normálových a tečných napětí po průřezu.

Rýže. 11.1. Tyče nekruhového průřezu: a) silnostěnné; b) tenkostěnný uzavřený a otevřený profil

Silnostěnné se nazývají tyče, které mají rozměry různých prvků průřezu úměrné rozměrům samotného průřezu. Deformace silnostěnných tyčí je složitá, problémy kroucení těchto tyčí jsou řešeny analyticky nebo numericky pomocí metod teorie pružnosti.

Tenkostěnné se nazývají tyče, u kterých je délka obrysu průřezu mnohem větší než tloušťka průřezu.

Výpočet tenkostěnných tyčí otevřeného a uzavřeného profilu pro vázané kroucení je studován v teorii tenkostěnných tyčí vyvinuté prof. V.Z. Vlasov.

Řešení problému volného kroucení tyčí nekruhového průřezu získal Saint-Venant.

Torzní obdélníkový průřez k největšímu napětí dochází uprostřed dlouhé strany obvodu (obr. 11.2). K jeho výpočtu použijte vzorec (11.1).

Tady Wt = αhb 2- moment torzní odolnost, α – Saint-Venantův koeficient, h A b rozměry pravoúhlého řezu (obr. 11.2).

Úhel natočení délky nákladové sekce l s konstantní vnitřní silou zjistíme vzorcem (11.2)

Tady I t = βhb 3- moment setrvačnosti při kroucení, β – Saint-Venantův koeficient.

Ep. τ[MPa]

Rýže. 11.2. Diagram smykového napětí

Saint-Venantovy koeficienty α, β, γ jsou určeny pomocí tabulky 11.1 v závislosti na poměru h/b.

Tabulka 11.1

Výpočet různých nekruhových průřezů pro pevnost a tuhost se provádí obdobně jako v předchozí přednášce. Pomocí podmínek pevnosti a tuhosti se řeší úlohy za účelem výběru rozměrů průřezu, stanovení dovoleného zatížení a kontroly splnění podmínek. V závislosti na profilu průřezu se odlišně určují geometrické charakteristiky průřezu, které se objevují ve vzorcích pro výpočet napětí a posuvů. (Vyhledejte si tyto vzorce sami pomocí učebnice).

Řešení staticky neurčitých úloh v kroucení. Problémy kroucení tyčí jsou staticky neurčité, jestliže momenty vznikající v průřezech tyče nelze určit pouze pomocí rovnic rovnováhy. K vyřešení takových problémů je nutné vzít v úvahu deformovaný stav zkroucené tyče. Algoritmus řešení je podobný tomu, který je popsán v tématu axiální tah–komprese.

V případě konstantní tuhosti tyče je vhodné pro řešení staticky neurčitých úloh použít metodu počátečních parametrů (seznámit se s touto metodou).

Problémy mohou být několikrát staticky neurčité. Uvažujme jednou staticky neurčité problémy.

Rýže. 11.3. Staticky neurčité tyče v torzi

a) Zveřejnění statické neurčitosti

∑ m X = 0; M A - M + M V nst

Bod B (tuhé zapuštění) nelze posunout (úhel zkroucení), pak lze tento pohyb znázornit jako součet úhlů zkroucení zatěžovacích úseků φ B =φ I+φ II = 0 (2).

Mt = konst může být reprezentováno jako: (3). Dosadíme (3) do (2): . (4)

Zapišme rovnice krouticího momentu na zatěžovacích úsecích, přičemž uvažujme rovnováhu pravé strany obsahující podpěrnou reakci M V: M t,já = M V- konst M t,II = M V - M– konst. Pokud jsou tuhosti na zatěžovacích úsecích stejné, rovnice (4) bude mít tvar:

M V

b) Zveřejnění statické neurčitosti

1. Zvažte statickou stránku problému

Vytvořme rovnovážnou rovnici:

∑ m X = 0; M A + ml – M V = 0 (1), zjistíme stupeň statické neurčitosti jako rozdíl mezi neznámými reakcemi podpory a počtem statických rovnic nst = 2 – 1 = 1 – úloha je jednou staticky neurčitá a k odhalení statické neurčitosti je potřeba ještě jedna rovnice.

2. Zvažte geometrickou stránku problému

Pohyb (úhel zkroucení) bodu V(tuhé zapuštění) je nemožné, pak lze tento pohyb znázornit jako součet úhlů zkroucení zatěžovacích úseků φ B =φ Já = 0 (2).

3. Zvažme fyzickou stránku problému

Úhel zkroucení na délce zátěžového úseku, kde M t popsaný lineární rovnicí může být reprezentován jako:

(3). Dosadíme (3) do (2): . (4)

Napíšeme rovnici krouticího momentu na zatěžovaném úseku s uvažováním rovnováhy pravé strany obsahující podpěrnou reakci M V: M t I = - M V+ mx, dosadíme rovnici vnitřní síly do (4):

Vyřešme výslednou rovnici pro jednu neznámou M V . Dále je problém řešen jako staticky určitelný.

Výpočet tyčí v krutu na základě mezního stavu. Uvažujme rozložení tečných napětí v průřezu kruhové tyče z elastoplastického materiálu podle idealizovaného Prandtlova diagramu (obr. 11.4).

Rýže. 11.4. Prandtlův diagram

τ max < τs τ max = τ s. τ sτ s

Mt = τ sWρ Elastické jádro Plastový pant

(Mt, lim)

Rýže. 11.5. Rozložení tečných napětí v průřezu

Při úhlech smyku γ ≤ γ s materiál se podřizuje Hookeovu zákonu, tzn. τ = G γ, přičemž γ = γ s smykové napětí dosahuje meze kluzu τ s, pro γ > γ s materiál „teče“ při konstantním napětí τ = τ s. Tím končí čistě elastická etapa práce (obr. 11.5 b) a moment dosahuje nebezpečné hodnoty. S dalším zvýšením krouticího momentu nabývá diagram napětí podobu znázorněnou na Obr. 11. 5. století S rostoucím kroutícím momentem klesá elastické jádro a dochází k tekutosti materiálu v celém průřezu, nastává stav mezní rovnováhy, odpovídající maximální únosnosti tyče. Pro plný kruhový průřez v případě znázorněném na Obr. 11. 5 g nosnost tyče se zvyšuje o 33 % oproti únosnosti vypočtené pro situaci na Obr. 11.5

Staticky neurčité torzní problémy

Jak je známo, úlohy, ve kterých počet neznámých podporových reakcí nebo počet vnitřních sil převyšuje počet možných statických rovnic, se nazývají staticky neurčité. Jedna z metod řešení staticky neurčitých problémů spočívá v následujícím:

a) sestaví se všechny možné statické rovnice v dané úloze;

b) je uveden obrázek deformace vyskytující se v dané konstrukci a jsou napsány deformační rovnice, jejichž počet by se měl rovnat stupni statické neurčitosti úlohy;

c) je řešen společný systém statických a deformačních rovnic.

Uvažujme řešení staticky neurčitého problému kroucení.

Příklad #1

Sestrojte diagram točivých momentů pro hřídel s konstantním průřezem po délce, pevně upnutý na obou koncích a zatížený soustředěným torzním momentem M(viz obrázek), umístěný v určité vzdálenosti A z levého kotviště.

Řešení.

Vzhledem k tomu, že hřídel je sevřena na dvou koncích, vzniknou reaktivní podpěrné momenty v obou sevřeních M A A M V. K jejich určení nejprve použijeme rovnice statiky. V tomto případě můžete vytvořit pouze jednu rovnici rovnováhy: , nebo

MA + MB + M = 0.(1)

Rovnice obsahuje dvě neznámé veličiny: M A A M V. Proto je tento problém jednou staticky neurčitý.

Uvažujeme obrázek deformace hřídele (obr. b). Je vidět, že vzájemný úhel natočení pravého konce vůči levému je roven nule. Úhel natočení pravého konce vzhledem k levému lze znázornit jako součet úhlů natočení jednotlivých částí hřídele.

Podle vzorce budou úhly zkroucení v řezech určeny následovně: pro úsek délky A pro délku úseku b Kde T a A T b– krouticí momenty na odpovídajících částech hřídele. Celkový úhel zkroucení podle podmínky upevnění konců je roven nule, tzn.

(2)

Toto je deformační rovnice problému. Pojďme to transformovat. Pomocí řezové metody vyjádříme momenty T a A T b:

T a= M A ,Tb = M V.

Dosazením těchto hodnot momentů do rovnice (2) a zmenšením výsledné rovnice o konstantní faktor získáme

.(3)

Řešením rovnic (1) a (3) společně zjistíme

Znaménko „–“ znamená, že skutečný směr reaktivních momentů je opačný než původně zvolený. Po výpočtu reakčních momentů sestrojíme diagram momentů podle známých pravidel (obr. PROTI).

Můžeme si všimnout následující vlastnosti diagramů točivého momentu ve staticky neurčitých hřídelích s = const: celková plocha diagramu točivého momentu je nula, což je v podstatě předem určeno rovnicí (3). Pokud je hřídel stupňovitá, pak by měl být součet ploch diagramu momentu vztažený k momentům setrvačnosti sekcí v odpovídajících sekcích roven nule.

Příklad č. 2

Sestavte diagramy točivého momentu T, absolutní a relativní úhly zkroucení kulaté masivní stupňovité tyče, upnuté na dvou koncích a zatížené vnějším kroutícím momentem M(viz obrázek).

Řešení.

Problém je jednou staticky neurčitý. Vyřešme problém následujícím způsobem. Odhoďme mentálně správné štípání, tzn. Uvažujme staticky určitou tyč zobrazenou na obr. b. Schéma točivých momentů pro něj od působení vnějšího točivého momentu M má tvar znázorněný na obr. PROTI. Určíme úhel natočení pravého konce V staticky definovatelná tyč:

Odpověď přišla se znaménkem „+“, tedy sekce V se bude otáčet kolem osy X ve směru vnějšího momentu M. Ale ve skutečnosti oddíl 4 staticky neurčitá tyč (obr. A) se neotáčí. Aplikujme krouticí moment na staticky určitou tyč M V(rýže. G) a určete úhel natočení pravého konce pouze z působení momentu M V pomocí diagramu točivého momentu (obr. d),

Nyní můžeme napsat deformační podmínku ukazující, že úhel natočení v řezu 4 staticky neurčité tyče musí být roven nule:

Z tohoto stavu nalézáme M V= M/6. Točivý moment M V bude podpůrnou reakcí pro staticky neurčitou tyč,

MB = M4.

Konečný diagram točivých momentů se získá přidáním dvou diagramů a (obr. E).

Začneme sestavovat diagram úhlů zkroucení, pro který pomocí vzorce vypočítáme úhly zkroucení pro každý úsek

a pak najdeme hodnoty úhlů zkroucení v charakteristických úsecích:

Poslední výsledek potvrzuje správnost výpočtů. Zavedením nového zápisu zkratky nakonec získáme:

Poté vytvoříme diagram absolutních úhlů zkroucení (obr. a).

Chcete-li sestavit diagram relativních úhlů zkroucení (obr. h) je třeba nejprve vypočítat

kde je tedy přijato,

Určíme požadované průměry tyče. Předpokládejme, že vnější krouticí moment M= 20 kNm , vypočtený smykový odpor materiálu tyčeR s = 100 MPa, přípustný relativní úhel natočení a modul smykuG = 8·104 MPa.

Průměr tyče uvnitřjá A IIoznačíme parcelyd 1 a v rámci oblastiIII – d 4 . Podle podmínek problému mezid 1 a d 4 existuje vztah (obr. A):

a odkud pak

Kromě,

Požadovaný průměr d 1, za předpokladu, že je zajištěna pevnost tyče, určíme ji pomocí vzorce s hodnotou točivého momentu z diagramu T, uvedené na Obr. E:

Určíme maximální smykové napětí, které vznikne v prutu v řezu III:

Požadovaný průměr, pokud je zajištěna tuhost tyče, se zjistí pomocí vzorce :

Porovnáním výsledků nakonec souhlasíme d 1 = 13 cm, d 4 =11 cm, stanoveno z podmínky tuhosti.

Průměr d 4, těžké lze také určit pomocí diagramu (obr. h), ze kterého je zřejmé, že na webujá, tedy rovnající se

shledáváme a nakonec definujeme

Příklad č. 3

Ocelová hřídel kruhového průřezu se skládá ze tří částí s různými polárními momenty setrvačnosti (obr. a). Konce hřídele jsou pevně zajištěny proti otáčení vzhledem k podélné ose hřídele. Zatížení jsou dána: silové dvojice M 1 a M 2, působící v rovině průřezu hřídele; vztah mezi polárními momenty setrvačnosti částí hřídele a ; délky úseků l 1 , l 2 , l 3 .

Požadované:

1) sestavte diagram točivých momentů;

2) vyberte rozměry průřezů na základě pevnostních podmínek;

3) sestrojte diagram úhlů zkroucení.

Řešení.

Vzhledem k přítomnosti dvou pevných nosných upevnění pod vlivem zatížení vznikají v každém z nich reaktivní páry. Po vytvoření rovnovážné podmínky pro hřídel

Jsme přesvědčeni, že zapsanou rovnici nelze vyřešit jednoznačně, protože obsahuje dvě neznámé veličiny: a . Zbývající rovnice rovnováhy pro dané zatížení jsou provedeny identicky. V důsledku toho je problém jednou staticky neurčitý.

Pro odhalení statické neurčitosti vytvoříme podmínku pro kompatibilitu deformací. Kvůli tuhosti nosných upevnění se koncové části hřídele neotáčejí. To je ekvivalentní skutečnosti, že celkový úhel natočení hřídele v oblasti A–B rovno nule: nebo .

Poslední rovnice je podmínkou slučitelnosti deformací. Abychom to spojili s rovnovážnou rovnicí, zapíšeme fyzikální rovnice týkající se krouticích momentů a úhlů zkroucení (Hookeův zákon pro kroucení) pro každou část tyče:

, ,.

Dosazením fyzikálních vztahů do podmínky kompatibility deformací zjistíme reaktivní moment a z rovnice rovnováhy pak určíme . Diagram točivého momentu je znázorněn na Obr. b.

Abychom vyřešili problém výběru řezu, zapíšeme vzorce pro určení maximálních tečných napětí na každé části hřídele:

; ;.

Koeficienty a , představující poměr polárních momentů odporu úseků druhého a třetího úseku hřídele k polárnímu momentu odporu úseku prvního úseku, budou určeny pomocí známých parametrů a .

Polární moment setrvačnosti lze zapsat dvěma způsoby:

kde, - poloměry první a druhé části tyče. Odtud vyjadřujeme poloměr pomocí:

Pak polární moment odporu druhého úseku

,

to je . Rovněž.

Nyní můžete porovnat maximální tangenciální napětí v jednotlivých oblastech a zapsat podmínku pevnosti pro největší z nich. Z této podmínky zjistíme požadovaný polární moment odporu a poté pomocí vzorce poloměry hřídele v každé sekci.

;;.

Abychom sestavili diagram úhlů zkroucení, vypočítáme úhly zkroucení v každé části tyče pomocí vzorce. Souřadnice diagramu se získají postupným sečtením výsledků pro jednotlivé úseky, počínaje jedním z konců hřídele. Správnost řešení se kontroluje rovností úhlu zkroucení na nulu na druhém konci hřídele Schéma úhlů zkroucení je na Obr. PROTI.

V TORZI (Úkol č. 11)

Úkol

Ocelová hřídel kruhového průřezu se skládá ze tří částí s různými polárními momenty setrvačnosti (obr. 3.6, Obr. A). Konce hřídele jsou pevně zajištěny proti otáčení vzhledem k podélné ose hřídele. Zatížení jsou specifikována: dvojice sil a působící v rovině průřezu hřídele; vztah mezi polárními momenty setrvačnosti částí hřídele a ; délky úseků , , .

Požadované:

1) sestavte diagram točivých momentů;

2) vyberte rozměry průřezů na základě pevnostních podmínek;

3) sestrojte diagram úhlů zkroucení.

Řešení

Vzhledem k přítomnosti dvou pevných nosných upevnění pod vlivem zatížení vznikají v každém z nich reaktivní páry. Po vytvoření rovnovážné podmínky pro hřídel

Jsme přesvědčeni, že zapsanou rovnici nelze vyřešit jednoznačně, protože obsahuje dvě neznámé veličiny: a . Zbývající rovnice rovnováhy pro dané zatížení jsou provedeny identicky. V důsledku toho je problém jednou staticky neurčitý.

Pro odhalení statické neurčitosti vytvoříme podmínku pro kompatibilitu deformací. Kvůli tuhosti nosných upevnění se koncové části hřídele neotáčejí. To je ekvivalentní skutečnosti, že celkový úhel natočení hřídele v oblasti A–B rovno nule: nebo .

Poslední rovnice je podmínkou slučitelnosti deformací. Abychom to spojili s rovnovážnou rovnicí, zapíšeme fyzikální rovnice týkající se krouticích momentů a úhlů zkroucení (3.3) (Hookeův zákon pro kroucení) pro každou část tyče:

, , .

Dosazením fyzikálních vztahů do podmínky kompatibility deformací zjistíme reaktivní moment a z rovnice rovnováhy pak určíme . Diagram točivého momentu je znázorněn na Obr. 3,6, b.

Abychom vyřešili problém výběru řezu, zapíšeme vzorce pro určení maximálních tečných napětí (3.5) na každém úseku hřídele:

; ; .

Koeficienty a , představující poměr polárních momentů odporu úseků druhého a třetího úseku hřídele k polárnímu momentu odporu úseku prvního úseku, budou určeny pomocí známých parametrů a .

Polární moment setrvačnosti lze zapsat dvěma způsoby:

; ,

kde , jsou poloměry první a druhé části tyče. Odtud vyjadřujeme poloměr pomocí:

Pak polární moment odporu druhého úseku

,

to je . Rovněž.

Nyní můžeme porovnat maximální tangenciální napětí v jednotlivých úsecích a zapsat podmínku pevnosti (3.13) pro největší z nich. Z této podmínky zjistíme požadovaný polární moment odporu a poté pomocí vzorce (3.8) poloměry hřídele v každé sekci.

; ; .

Pro sestavení diagramu úhlů zkroucení vypočítáme úhly zkroucení v každé sekci tyče pomocí vzorce (3.3). Souřadnice diagramu se získají postupným sečtením výsledků pro jednotlivé úseky, počínaje jedním z konců hřídele. Správnost řešení se kontroluje rovností úhlu zkroucení na nulu na druhém konci hřídele Schéma úhlů zkroucení je na Obr. 3,6, PROTI.

Pro konstrukci s tuhou tyčí je racionální rovnice rovnováhy, která zahrnuje jednu neznámou sílu, rovnicí kde A- závěs, kolem kterého se otáčí tuhá tyč.

Jak název napovídá, tato metoda je použitelná pro konstrukce, jejichž tyče jsou vyrobeny z plastu.

Je zřejmé, že vztah mezi deformacemi tyčí bude stejný jako v první části úlohy, proto rovnici pro kompatibilitu deformací ve třetí části úlohy lze napsat pomocí dříve získané rovnice a nahradit ji rovnicí .

Při řešení této úlohy provádějí korespondenční studenti pouze výpočty na základě plastického mezního stavu. Zbývající studenti řeší úlohu č. 6 podle požadavku učitele. Bod 2 označený * je nepovinný a provádí se na žádost studenta.

Moderní normy pro navrhování budov poskytují komplexnější přístup (zavedení samostatných součinitelů bezpečnosti pro zatížení, vlastnosti materiálů, provozní podmínky konstrukce). S tím se student seznámí při studiu předmětů kovových, železobetonových a jiných konstrukcí.